Consideramos dos variables Y y X para las que tenemos algunas observaciones. Nuestro objetivo es estudiar «¿cómo varía Y con el cambio de X?». La forma más sencilla de expresar dicha relación es a través del análisis bivariante, gracias a la regresión lineal bivariante:

• «Y«: Variable dependiente, variable explicada.
• «X«: Variable independiente, variable explicativa, control, regresor.
• «u«: Término de error o perturbación. Capta el factor distinto de «X» que afecta a «Y». Es inobservable.
• «β₂«: Es el parámetro de la pendiente. Es el cambio en E [y[x]] dado un cambio de una unidad en «X», siendo iguales los demás factores relevantes.
• «β₁«: Es el parámetro de intecepción.

Por ejemplo:
1- Supongamos que el rendimiento del «tomate» está determinado por el modelo:

rendimiento_i= α+βfertilizar_i+u_i

El efecto del fertilizante sobre el rendimiento, en igualdad de condiciones, viene dado por β, Δrendimiento_i=βΔfertilizante_i. Todos los demás factores, como la igualdad de la tierra, el clima, el riego, etc.

La linealidad del modelo implica que el cambio unitario tiene exactamente el mismo efecto sobre Y, independientemente del nivel inicial de X.

2- Supongamos que la nota final de un estudiante de Econometría se explica por:

EcGP_i = α + β medio plazo_i + u_i => EcGP_i =4,11 medio plazo_i +u_i

El efecto de los parciales en la nota final, en igualdad de condiciones, lo da la β.

Geometría, interpretación y álgebra de las funciones lineales:

y_i=β₁+β₂X_i+u_i

Definición y notacion en el modelo SLR en el análisis bivariante

En el análisis bivariante de regresión simple existe el modelo SLR:

Supuestos del modelo y del parámetro del modelo:

Supuesto 1: lineal en los parámetros

La variable dependiente, se relaciona con la variable independiente, x como:

y_i=β₁+β₂X_i+u_i

Las β son parámetros de interés desconocidos y u es un error aleatorio inobservable.

Supuesto 2: Muestreo aleatorio y número de observaciones > número de parámetros

Tenemos una muestra aleatoria de tamaño n {(x_i , y_i):i=1,2…,n} siguiendo el modelo [1] extraído de la población.

Supuesto 3: Variación de la muestra

Los resultados de la variación de la muestra en x, es decir, {x_i , i=1,2,…,n}, no tienen todos el mismo valor.

Supuesto 4: No hay colinealidad perfecta

En la muestra y, por tanto, en la población, ninguna de las variables independientes es constante y no existe una relación lineal exacta entre las variables independientes.

Supuesto 5: Parámetros constantes

En [1] Los parámetros β₁, β₂, y σ² (la varianza de u) son números fijos desconocidos con σ>0. Esto significa que, aunque los parámetros del DGP (data generating process) son desconocidos, asumimos que las # observaciones se generan con el mismo valor de los parámetros.

Supuesto 6: El modelo está correctamente especificado

En su ecuación de regresión contiene todos los predictores relevantes, incluidos los términos de transformación e interacción necesarios. Es decir, no hay predictores ausentes, redundantes o extraños en el modelo. Por supuesto, éste es el mejor resultado posible y el que esperamos obtener.

Supuesto 7: u es una media independiente de x

E(u_i|x_i)=0_i para toda i=1, 2, 3…

Supuestos de las perturbaciones (4)

Supuesto 8: Perturbaciones aleatorias, media «condicional» cero

Las perturbaciones aleatorias u₁, u₂, …, u_n son variables aleatorias con media cero.

Supuesto 9: Homoscedasticidad

La varianza de las perturbaciones aleatorias u₁, u₂, …, u_n existen y son todas iguales.

Var(u²_i|x_i)=E(u²_i|x_i)=σ², para toda i=1,2,3,…

Supuesto 10: No hay correlación

Todos los pares de perturbaciones u_i, u_j, no están correlacionados:

Cov(u_i, u_j)=E(u_i, u_j)=0, para toda i, j=1, …n, i≠j

Supuesto 11: Normalidad

Las perturbaciones u₁, u₂, …, u_n se distribuyen conjuntamente de forma normal.

u_i~iid N(0,σ²)

Bajo los supuestos 1-11, los valores de y_i se distribuyen de forma normal e independiente con media variable y varianza constante, Esto se puede escribir como:

y_i~NID(β₁+β₂x_i,σ²) (i=1…,n).

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